Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - x}}$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x - x}}$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot - 1}}$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x (x - 1)}}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x - 1)}{x^{2}}}}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (x - 1)}{x^{2}}}}$

Étape 4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (x - 1)}{x \cdot x}}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (x - 1)}{x \cdot x}}}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x - 1}{x}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x - 1}{x}}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x - 1}{x}}}$

Étape 5.3

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x - 1}{x}}}$

Étape 5.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x - 1}{x}}}$

Étape 6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Étape 7.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{1}}}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Étape 7.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Étape 7.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Étape 9

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - 0}{1}}}$

Étape 9.2

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Divisez $1 - 0$ par $1$ .

$\frac{1}{- \sqrt{1 - 0}}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 - 0}}$

Étape 9.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 0}}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Étape 9.2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1}}$

Étape 9.2.3.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$- \frac{1}{1}$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{1}$

Étape 9.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 9.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$