Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{y} = x - y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \cdot 1$

Étape 2.5

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 - y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x e^{y} y' + e^{y} = 1 - y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x e^{y} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + e^{y} = 1 - y'$

Étape 5.2

Ajoutez $y'$ aux deux côtés de l’équation.

$x y' e^{y} + e^{y} + y' = 1$

Étape 5.3

Soustrayez $e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$x y' e^{y} + y' = 1 - e^{y}$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $x y' e^{y} + y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) + y' = 1 - e^{y}$

Étape 5.4.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' (x e^{y}) + y' = 1 - e^{y}$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' (x e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{y}$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x e^{y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$ par $x e^{y} + 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$ par $x e^{y} + 1$ .

$\frac{y' (x e^{y} + 1)}{x e^{y} + 1} = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x e^{y} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x e^{y} + 1)}{x e^{y} + 1} = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} + 1}$