Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} - 10 x^{2} + 24 x}{x^{2} - 6 x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 24 x}{x^{2} - 6 x}$ est indéfinie.

$x = 0, x = 6$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 10 x^{2} + 24 x$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 10 x^{2} + 24 x}{x^{2} - 6 x}$

Étape 6.1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 10 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + 24 x}{x^{2} - 6 x}$

Étape 6.1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $24 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + x \cdot 24}{x^{2} - 6 x}$

Étape 6.1.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 10 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 10 x) + x \cdot 24}{x^{2} - 6 x}$

Étape 6.1.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 10 x) + x \cdot 24$ .

$\frac{x (x^{2} - 10 x + 24)}{x^{2} - 6 x}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez $x^{2} - 10 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 6, - 4$

Étape 6.1.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x ((x - 6) (x - 4))}{x^{2} - 6 x}$

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x^{2} - 6 x}$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 6 x$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x \cdot x - 6 x}$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x \cdot x + x \cdot - 6}$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 6$ .

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x (x - 6)}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 6) (x - 4)}{x (x - 6)}$

Étape 6.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{x - 6}$

Étape 6.1.2.3

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

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Étape 6.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{x - 6}$

Étape 6.1.2.3.2

Divisez $x - 4$ par $1$ .

$x - 4$

Étape 6.2

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x - 4$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x - 4$

Étape 8