Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 16}{4 x - 16}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{2} - 16}{4 x - 16}$ est indéfinie.

$x = 4$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{4 x - 16}$

Étape 6.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 x - 16}$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x - 16$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 (x) - 16}$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 x + 4 \cdot - 4}$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 (x - 4)}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{4 (x - 4)}$

Étape 6.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 4}{4}$

Étape 6.2

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4$

$x$

$4$

Étape 6.3

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4$ .

			$\frac{x}{4}$
	$4$		$x$	+	$4$

Étape 6.4

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	+	$4$
	+	$x$

Étape 6.5

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x$

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	+	$4$
	-	$x$

Étape 6.6

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	+	$4$
	-	$x$
		$0$

Étape 6.7

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	+	$4$
	-	$x$
		$0$	+	$4$

Étape 6.8

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{x}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 6.9

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$\frac{x}{4} + 1$

Étape 6.10

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{x}{4}$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{x}{4}$

Étape 8