Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 - x^{2}$ , $[- 3, 2]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$5 - x^{2} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $5 - x^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 5$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 1.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Étape 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 1.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 1.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 1.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $\sqrt{5}$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $5$ et $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 5$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 d x - \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - x^{2} + 5 d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 3$ et $- \sqrt{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 - (- x^{2} + 5) d x$

Étape 4.2

Soustrayez $- x^{2} + 5$ de $0$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - (- x^{2} + 5) d x$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 1 \cdot 5 d x$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 5 d x$

Étape 4.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} d x + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

Étape 4.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

Étape 4.7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

Étape 4.8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ et $- 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

Étape 4.8.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x$ sur $- \sqrt{5}$ et sur $- 3$ .

$(\frac{1}{3} {(- \sqrt{5})}^{3} - 5 (- \sqrt{5})) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} {(- (\sqrt{5}))}^{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $- (\sqrt{5})$ .

$\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} (- {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.4

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$\frac{1}{3} (- \sqrt{5^{3}}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.5

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} (- \sqrt{125}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{125}$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.8

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 27$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 27}{3} - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.10

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.2.2.10.1

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.2.2.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 9}{1} - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.10.2.4

Divisez $- 9$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 - 5 \cdot - 3)$

Étape 4.8.2.2.11

Multipliez $- 5$ par $- 3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 + 15)$

Étape 4.8.2.2.12

Additionnez $- 9$ et $15$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 6$

Étape 4.8.2.2.13

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Étape 4.8.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.3.1

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.3.1.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$- \frac{\sqrt{25 (5)}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Étape 4.8.3.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Étape 4.8.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Étape 4.8.3.3

Pour écrire $5 \sqrt{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3} - 6$

Étape 4.8.3.4

Associez $5 \sqrt{5}$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

Étape 4.8.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

Étape 4.8.3.6

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3} - 6$

Étape 4.8.3.7

Additionnez $- 5 \sqrt{5}$ et $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6$

Étape 5

$A r e a = \int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x - \int_{- \sqrt{5}}^{2} 0 d x$

Étape 6

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- \sqrt{5}$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 - (0) d x$

Étape 6.2

Soustrayez $0$ de $- x^{2} + 5$ .

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x$

Étape 6.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Étape 6.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{- \sqrt{5}}^{2} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Étape 6.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Étape 6.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Étape 6.7

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

Étape 6.8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $- \sqrt{5}$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

Étape 6.8.1.2

Évaluez $5 x$ sur $2$ et sur $- \sqrt{5}$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Étape 6.8.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Étape 6.8.1.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{5}$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- (\sqrt{5}))}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Étape 6.8.1.3.3

Appliquez la règle de produit à $- (\sqrt{5})$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Étape 6.8.1.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Étape 6.8.1.3.5

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{5^{3}}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Étape 6.8.1.3.6

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Étape 6.8.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Étape 6.8.1.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Étape 6.8.1.3.9

Multipliez $\frac{\sqrt{125}}{3}$ par $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Étape 6.8.1.3.10

Multipliez $5$ par $2$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 - 5 (- \sqrt{5})$

Étape 6.8.1.3.11

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Étape 6.8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.1

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.2.1.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{25 (5)}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Étape 6.8.2.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Étape 6.8.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$- (\frac{8}{3} + \frac{5 \sqrt{5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Étape 6.8.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{8}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 10 + 5 \sqrt{5}$

Étape 6.8.3.2

Pour écrire $10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Étape 6.8.3.3

Associez $10$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Étape 6.8.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Étape 6.8.3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.3.5.1

Multipliez $10$ par $3$ .

$\frac{- 8 + 30}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Étape 6.8.3.5.2

Additionnez $- 8$ et $30$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Étape 6.8.3.6

Pour écrire $5 \sqrt{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.8.3.7

Associez $5 \sqrt{5}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Étape 6.8.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{22}{3} + \frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Étape 6.8.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Étape 6.8.3.10

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3}$

Étape 6.8.3.11

Additionnez $- 5 \sqrt{5}$ et $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

Étape 7

Additionnez les aires $\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6 + \frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 6 + \frac{10 \sqrt{5} + 22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

Étape 7.2

Additionnez $10 \sqrt{5}$ et $10 \sqrt{5}$ .

$- 6 + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Étape 7.3

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 6 \cdot \frac{3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Étape 7.4

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Associez $- 6$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 6 \cdot 3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Étape 7.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 6 \cdot 3 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{- 18 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Étape 7.5.2

Additionnez $- 18$ et $22$ .

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Forme décimale :

$16.24045318 \dots$

Étape 9