Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ ; $[1, 4]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$4, 8 x^{2}, 1 + y = 0$

Étape 1.2.1.2

Since $4, 8 x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 8, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}$ .

Étape 1.2.1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

$1$ Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

Étape 1.2.1.4

$4$ a des facteurs de $2$ et $2$ .

$2 \cdot 2 + y = 0$

Étape 1.2.1.5

Les facteurs premiers pour $8$ sont $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 1.2.1.5.1

$8$ a des facteurs de $2$ et $4$ .

$2 \cdot 4$

Étape 1.2.1.5.2

$4$ a des facteurs de $2$ et $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Étape 1.2.1.6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Not $p r i m e + y = 0$

Étape 1.2.1.7

Le plus petit multiple commun de $4, 8, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Étape 1.2.1.8

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 1.2.1.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 2 + y = 0$

Étape 1.2.1.8.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$8 + y = 0$

Étape 1.2.1.9

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

Étape 1.2.1.10

Le plus petit multiple commun de $x^{2}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x + y = 0$

Étape 1.2.1.11

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + y = 0$

Étape 1.2.1.12

Le plus petit multiple commun pour $4, 8 x^{2}, 1$ est la partie numérique $8$ multipliée par la partie variable.

$8 x^{2} + y = 0$

Étape 1.2.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ par $8 x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ par $8 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} (8 x^{2}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.2.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 (2) \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 2 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.2.1.3

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.2.1.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x^{4}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.2.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 4} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.2.1.3.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$2 x^{6} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.2.2.2.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{2}$ .

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 (x^{2})} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$2 x^{6} + 1 = 0 (8 x^{2})$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Multipliez $0 (8 x^{2})$ .

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Étape 1.2.2.3.1.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$2 x^{6} + 1 = 0 x^{2}$

Étape 1.2.2.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$2 x^{6} + 1 = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{6} = - 1$

Étape 1.2.3.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{6} = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{6} = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{6}$ par $1$ .

$x^{6} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{6} = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.3.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{2}$ comme $i^{6} \frac{1^{6}}{2}$ .

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Étape 1.2.3.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1^{6}}{2}}$

Étape 1.2.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1^{6}}{2}}$

Étape 1.2.3.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.4.4

Réécrivez $\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$

Étape 1.2.3.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$

Étape 1.2.3.4.6

Associez $i$ et $\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Étape 1.2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Étape 1.2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Étape 1.2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}, - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $\frac{i}{\sqrt[6]{2}}$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $4$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} - (0) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $0$ de $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Étape 3.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Étape 3.6

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3.7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.7.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 3.7.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 3.7.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

Étape 3.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Étape 3.9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.9.1

Évaluez $\frac{1}{5} x^{5}$ sur $4$ et sur $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Étape 3.9.2

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $4$ et sur $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 4^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 3.9.3

Simplifiez

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Étape 3.9.3.1

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 3.9.3.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $1024$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 3.9.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 3.9.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 3.9.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1024 - 1}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 3.9.3.6

Soustrayez $1$ de $1024$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1023}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 3.9.3.7

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1023}{5}$ .

$\frac{1023}{4 \cdot 5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 3.9.3.8

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 3.9.3.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Étape 3.9.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1)$

Étape 3.9.3.11

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Étape 3.9.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 1 + 4}{4}$

Étape 3.9.3.13

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 3.9.3.14

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{8 \cdot 4}$

Étape 3.9.3.15

Multipliez $8$ par $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{32}$

Étape 3.9.3.16

Pour écrire $\frac{1023}{20}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32}$

Étape 3.9.3.17

Pour écrire $\frac{3}{32}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.9.3.18

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $160$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.9.3.18.1

Multipliez $\frac{1023}{20}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{20 \cdot 8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.9.3.18.2

Multipliez $20$ par $8$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.9.3.18.3

Multipliez $\frac{3}{32}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{32 \cdot 5}$

Étape 3.9.3.18.4

Multipliez $32$ par $5$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{160}$

Étape 3.9.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1023 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{160}$

Étape 3.9.3.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.3.20.1

Multipliez $1023$ par $8$ .

$\frac{8184 + 3 \cdot 5}{160}$

Étape 3.9.3.20.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{8184 + 15}{160}$

Étape 3.9.3.20.3

Additionnez $8184$ et $15$ .

$\frac{8199}{160}$

Étape 4