Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} - 3$ , $[0, 6]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 1.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 1.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $\sqrt{3}$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{\sqrt{3}} 0 d x - \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} - 3 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $\sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 0 - (x^{2} - 3) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $x^{2} - 3$ de $0$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - (x^{2} - 3) d x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} + 3 d x$

Étape 3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Étape 3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Étape 3.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Étape 3.8

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Étape 3.9

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $\sqrt{3}$ et sur $0$ .

$- ((\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Étape 3.9.1.2

Évaluez $3 x$ sur $\sqrt{3}$ et sur $0$ .

$- (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Étape 3.9.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Étape 3.9.1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Étape 3.9.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Étape 3.9.1.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Étape 3.9.1.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1.3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Étape 3.9.1.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Étape 3.9.1.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Étape 3.9.1.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Étape 3.9.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} + 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Étape 3.9.1.3.6

Additionnez $\frac{\sqrt{27}}{3}$ et $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Étape 3.9.1.3.7

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} + 0$

Étape 3.9.1.3.8

Additionnez $3 \sqrt{3}$ et $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Étape 3.9.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.1

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.1.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Étape 3.9.2.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Étape 3.9.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Étape 3.9.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Étape 3.9.2.3.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Étape 3.9.2.4

Additionnez $- \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3}$

Étape 4

$A r e a = \int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x - \int_{\sqrt{3}}^{6} 0 d x$

Étape 5

Intégrez pour déterminer l’aire entre $\sqrt{3}$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 - (0) d x$

Étape 5.2

Soustrayez $0$ de $x^{2} - 3$ .

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x$

Étape 5.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} d x + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Étape 5.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Étape 5.6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6}$ et $- 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Étape 5.6.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x$ sur $6$ et sur $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - 3 \cdot 6) - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.2.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $216$ .

$\frac{216}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.2.2.3

Annulez le facteur commun à $216$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{72}{1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.2.2.3.2.4

Divisez $72$ par $1$ .

$72 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.2.2.4

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$72 - 18 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.2.2.5

Soustrayez $18$ de $72$ .

$54 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.2.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.2.2.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{27} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.2.2.8

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{27}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{27}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.1

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$54 - (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.3.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.3.3.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$54 - (\sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$

Étape 5.6.3.4

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$54 - (- 2 \sqrt{3})$

Étape 5.6.3.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$54 + 2 \sqrt{3}$

Étape 6

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$54 + 4 \sqrt{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$54 + 4 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$60.92820323 \dots$

Étape 8