Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} - 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3 x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 6 x$ et $0$ .

$4 x^{3} - 6 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} - 6 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3 x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 6 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 6 x$ .

$4 x^{3} - 6 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 6 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 6 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{3} - 6 x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 6 x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 6 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$2 x (2 x^{2} - 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $2 x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $2 x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 3 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $2 x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 3$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2}$

Étape 5.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 5.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.2.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.2.4.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.5.2.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.2.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.5.2.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.5.2.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.2.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.2.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.2.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.2.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.5.2.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Étape 5.5.2.4.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 5.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 5.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 5.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0)}^{2} - 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0 - 6$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 - 6$

Étape 9.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- 6$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} - 4$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} - 4$

Étape 11.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 - 4$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f (0) = - 4$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 6$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$12 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} - 6$

Étape 13.1.2

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 13.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6$

Étape 13.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6$

Étape 13.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$12 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6$

Étape 13.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$12 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6$

Étape 13.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$12 \frac{6^{1}}{2^{2}} - 6$

Étape 13.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$12 \frac{6}{2^{2}} - 6$

Étape 13.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$12 (\frac{6}{4}) - 6$

Étape 13.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$4 (3) \frac{6}{4} - 6$

Étape 13.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 3 \frac{6}{4} - 6$

Étape 13.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 6 - 6$

Étape 13.1.5

Multipliez $3$ par $6$ .

$18 - 6$

Étape 13.2

Soustrayez $6$ de $18$ .

$12$

Étape 14

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{6}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{4}$ comme $6^{2}$ .

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Étape 15.2.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 15.2.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.2.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.2.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.4

Annulez le facteur commun à $36$ et $16$ .

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Étape 15.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 15.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} - 4$

Étape 15.2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 4$

Étape 15.2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 4$

Étape 15.2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4$

Étape 15.2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4$

Étape 15.2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} - 4$

Étape 15.2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} - 4$

Étape 15.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4}) - 4$

Étape 15.2.1.8

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 15.2.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4} - 4$

Étape 15.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - 4$

Étape 15.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - 4$

Étape 15.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) - 4$

Étape 15.2.1.9

Multipliez $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.9.1

Associez $- 3$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} - 4$

Étape 15.2.1.9.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} - 4$

Étape 15.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 4$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 4$

Étape 15.2.2.3

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

Étape 15.2.2.4

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 4 \cdot 4}{4}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 - 4 \cdot 4}{4}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 - 16}{4}$

Étape 15.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.5.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9 - 16}{4}$

Étape 15.2.5.2

Soustrayez $16$ de $- 9$ .

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 25}{4}$

Étape 15.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{25}{4}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $- \frac{25}{4}$ .

$y = - \frac{25}{4}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 6$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 17.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}) - 6$

Étape 17.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}) - 6$

Étape 17.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$12 (1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}) - 6$

Étape 17.1.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$12 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} - 6$

Étape 17.1.4

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 17.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6$

Étape 17.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6$

Étape 17.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$12 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6$

Étape 17.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$12 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6$

Étape 17.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$12 \frac{6^{1}}{2^{2}} - 6$

Étape 17.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$12 \frac{6}{2^{2}} - 6$

Étape 17.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$12 (\frac{6}{4}) - 6$

Étape 17.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 17.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$4 (3) \frac{6}{4} - 6$

Étape 17.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 3 \frac{6}{4} - 6$

Étape 17.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 6 - 6$

Étape 17.1.7

Multipliez $3$ par $6$ .

$18 - 6$

Étape 17.2

Soustrayez $6$ de $18$ .

$12$

Étape 18

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.1.4.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{4}$ comme $6^{2}$ .

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Étape 19.2.1.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.4.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.4.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.4.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.4.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.4.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{36}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.6

Annulez le facteur commun à $36$ et $16$ .

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Étape 19.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 (9)}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} - 4$

Étape 19.2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}) - 4$

Étape 19.2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}})) - 4$

Étape 19.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (1 (\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}})) - 4$

Étape 19.2.1.9

Multipliez $\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} - 4$

Étape 19.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 19.2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 4$

Étape 19.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 4$

Étape 19.2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4$

Étape 19.2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 4$

Étape 19.2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} - 4$

Étape 19.2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} - 4$

Étape 19.2.1.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4}) - 4$

Étape 19.2.1.12

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 19.2.1.12.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4} - 4$

Étape 19.2.1.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - 4$

Étape 19.2.1.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} - 4$

Étape 19.2.1.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) - 4$

Étape 19.2.1.13

Multipliez $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.13.1

Associez $- 3$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} - 4$

Étape 19.2.1.13.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} - 4$

Étape 19.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 4$

Étape 19.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.2.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

Étape 19.2.2.2

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 4$

Étape 19.2.2.3

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

Étape 19.2.2.4

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 19.2.2.5

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 4 \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 - 4 \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.4.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{9 - 18 - 16}{4}$

Étape 19.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.5.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 9 - 16}{4}$

Étape 19.2.5.2

Soustrayez $16$ de $- 9$ .

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 25}{4}$

Étape 19.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{6}}{2}) = - \frac{25}{4}$

Étape 19.2.6

La réponse finale est $- \frac{25}{4}$ .

$y = - \frac{25}{4}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} - 4$ .

$(0, - 4)$ est un maximum local

$(\frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{25}{4})$ est un minimum local

$(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{25}{4})$ est un minimum local

Étape 21