Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.3

Placez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.14

Associez les fractions.

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Étape 1.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.14.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.20.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.20.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.23

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.24

Pour écrire ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.26

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.27

Simplifiez ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.28

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.29

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = - 2 x^{2} + 1$ et $g (x) = {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.4.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.4.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.4.6

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = - x^{2} + 1$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.10

Associez les fractions.

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Étape 2.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(- x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{{(- x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.10.3

Placez ${(- x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.15

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.16

Simplifiez les termes.

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Étape 2.16.1

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.16.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.16.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.16.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.17

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.17.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.17.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.17.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) \frac{- x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 1) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 1) (\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.20

Multipliez $- 2 x^{2} + 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 1) (\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21

Simplifiez

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Étape 2.21.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.21.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 1) (\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.2

Multipliez $- 2 x^{2} + 1$ par $\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.3

Pour écrire $- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.4

Associez $- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ et $\frac{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6

Réécrivez $\frac{- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

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Étape 2.21.1.6.1

Factorisez $x$ à partir de $- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 1) x$ .

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Étape 2.21.1.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $(- 2 x^{2} + 1) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6.2

Multipliez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.21.1.6.2.1

Déplacez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 ({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 {(- x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 (- x^{2} + 1) - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6.3

Simplifiez $- 4 {(- x^{2} + 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 (- x^{2} + 1) - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1 - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} - 4 \cdot 1 - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6.6

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} - 4 - 2 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} - 4 + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.1.6.8

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.2

Associez des termes.

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Étape 2.21.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 1}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 1}$

Étape 2.21.2.2

Multipliez $\frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{- x^{2} + 1}$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 1)}$

Étape 2.21.2.3

Multipliez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.21.2.3.1

Multipliez ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 1$ .

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Étape 2.21.2.3.1.1

Élevez $- x^{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 1)}$

Étape 2.21.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 2.21.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 2.21.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 2.21.2.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.2

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.8

Associez les fractions.

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Étape 4.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.8.3

Placez ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.14

Associez les fractions.

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Étape 4.1.14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.14.3

Associez $\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.20.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.20.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 4.1.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 4.1.23

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.24

Pour écrire ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.26

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.26.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.26.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.26.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.27

Simplifiez ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1 - x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.28

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.29

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 2 x^{2} + 1 = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} = - 1$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.3.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.3.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 5.3.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.3.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.3.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.3.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.3.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.3.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.3.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.3.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.3.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{\sqrt{{(- x^{2} + 1)}^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{- 2 x^{2} + 1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{- 2 x^{2} + 1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{- x^{2} + 1} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- x^{2} + 1}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x^{2} + 1}$ comme ${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- x^{2} + 1)}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$- x^{2} + 1 = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- x^{2} + 1 = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 1$

Étape 6.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Étape 6.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 6.3.3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 6.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 6.3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 6.3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x^{2} + 1}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$- x^{2} + 1 < 0$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} < - 1$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} > \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} > 1$

Étape 6.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

Étape 6.5.4

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{1}$

Étape 6.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| x | > 1$

Étape 6.5.5

Écrivez $| x | > 1$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 6.5.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 6.5.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > 1$

Étape 6.5.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 6.5.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > 1$

Étape 6.5.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

Étape 6.5.6

Déterminez l’intersection de $x > 1$ et $x \geq 0$ .

$x > 1$

Étape 6.5.7

Divisez chaque terme dans $- x > 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.7.1

Divisez chaque terme dans $- x > 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Étape 6.5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Étape 6.5.7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Étape 6.5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.7.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x < - 1$

Étape 6.5.8

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 1$ ou $x > 1$

Étape 6.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, - 1, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{(\frac{\sqrt{2}}{2}) (2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2}{2^{2}} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 (\frac{2}{4}) - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2}{2 (2)} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2}{2 \cdot 2} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{2}{2} - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} (1 - 3)}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.6

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.2.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2 (1)}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(\frac{- 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.4

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.3

Associez les fractions.

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Étape 9.3.1

Associez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $- 2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \cdot - 2}{2}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Réduisez l’expression $\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- \sqrt{2}}{1}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.4.2

Divisez $- \sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{2}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 9.6

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Étape 9.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 9.6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2^{\frac{3 + 1}{2}}$

Étape 9.6.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$- 2^{\frac{4}{2}}$

Étape 9.6.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Étape 9.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Étape 9.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Étape 9.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2^{\frac{2}{1}}$

Étape 9.6.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- 2^{2}$

Étape 9.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 1 \cdot 4$

Étape 9.8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4$

Étape 10

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}) \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 11.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 11.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{4}}$

Étape 11.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 11.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 11.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 11.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 11.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 11.2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 11.2.5.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 11.2.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 11.2.7

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 11.2.8

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 11.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.9

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{(- \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}) - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 (1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2}{2^{2}} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 (\frac{2}{4}) - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2}{2 (2)} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \frac{2}{2 \cdot 2} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{2}{2} - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.7

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - 3)}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.8

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot - 2}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.9

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.9.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.9.2

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.10.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2 (1)}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{{(\frac{- 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.4

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 13.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 13.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 13.4

Multipliez $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 13.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}$

Étape 13.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{1 + 3}{2}}$

Étape 13.4.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$2^{\frac{4}{2}}$

Étape 13.4.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 13.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Étape 13.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Étape 13.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Étape 13.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{2}{1}}$

Étape 13.4.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2^{2}$

Étape 13.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4$

Étape 14

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sqrt{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Étape 15.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 15.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 15.2.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 15.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Étape 15.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 15.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 + {(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 15.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 15.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 15.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 15.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 15.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2}{4}}$

Étape 15.2.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 15.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 15.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 15.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 15.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 15.2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.7.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 15.2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 15.2.7.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 15.2.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 15.2.9

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 15.2.10

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 15.2.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 15.2.10.2

Factorisez $\sqrt{2}$ à partir de $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 15.2.10.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 15.2.10.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Étape 15.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{1}{2}$

Étape 15.2.12

La réponse finale est $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 17.1.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 17.1.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1 + 2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{(- 1 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 17.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 17.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 17.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 17.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 17.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0^{3}}$

Étape 17.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0}$

Étape 17.2.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{(- 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}{0}$

Étape 17.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 18

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 19