Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $y = 0$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $\sqrt{1 - x^{2}} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Simplifiez

$1 - x^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 1$

Étape 1.2.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Étape 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 1.2.3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 1.2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 1.2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 1.2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x - \int_{- 1}^{1} 0 d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 1$ et $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - (0) d x$

Étape 4.2

Soustrayez $0$ de $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 4.3

Complétez le carré.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - x) + x (1 - x)$

Étape 4.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Étape 4.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Étape 4.3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Étape 4.3.1.2.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Étape 4.3.1.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 - x + x + x (- x)$

Étape 4.3.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - x + x - x \cdot x$

Étape 4.3.1.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x)$

Étape 4.3.1.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 - x + x - x^{2}$

Étape 4.3.1.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Étape 4.3.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - x^{2}$

Étape 4.3.1.3

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

Étape 4.3.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Étape 4.3.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 4.3.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.4.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Étape 4.3.4.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot 0$ comme $- 0$ .

$d = - 0$

Étape 4.3.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$d = 0$

Étape 4.3.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Étape 4.3.5.2.1.3

Divisez $0$ par $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Étape 4.3.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = 1 + 0$

Étape 4.3.5.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$e = 1$

Étape 4.3.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1} d x$

Étape 4.4

Laissez $u_{1} = x + 0$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Laissez $u_{1} = x + 0$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1

Différenciez $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Étape 4.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 0$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Étape 4.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Étape 4.4.1.4

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 1 + 0$

Étape 4.4.3

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 4.4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Étape 4.4.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 4.4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Étape 4.4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

Étape 4.5

Laissez $u_{1} = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

Étape 4.6

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Simplifiez $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1.1

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (t)$ et $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 4.6.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 4.6.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 4.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Étape 4.6.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Étape 4.6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 4.6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Étape 4.7

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 4.8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 4.9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 4.10

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 4.11

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Alors $d u_{2} = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.1

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 4.11.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.11.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.11.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Étape 4.11.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 4.11.3.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 4.11.3.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = - π$

Étape 4.11.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 4.11.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 4.11.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 4.11.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Étape 4.11.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 4.12

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 4.13

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 4.14

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Étape 4.15

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.15.1

Évaluez $t$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Étape 4.15.2

Évaluez $\sin (u_{2})$ sur $π$ et sur $- π$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 4.15.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.15.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 4.15.3.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 4.15.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.15.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Étape 4.15.3.3.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Étape 4.16

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.16.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.16.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.16.1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Étape 4.16.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Étape 4.16.1.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Étape 4.16.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Étape 4.16.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Étape 4.16.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 4.16.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (π + 0)$

Étape 4.16.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{1}{2} π$

Étape 4.16.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $π$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 5