Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{20 x - x^{2} - 19}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Étape 1.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 20 x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Étape 1.3.2

Placez le terme $20$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Étape 1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Étape 1.3.4

Évaluez la limite de $19$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 19}$

Étape 1.3.5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{20 \cdot 1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 19}$

Étape 1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{20 \cdot 1 - 1^{2} - 1 \cdot 19}$

Étape 1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.6.1.1

Multipliez $20$ par $1$ .

$\frac{0}{20 - 1^{2} - 1 \cdot 19}$

Étape 1.3.6.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{20 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 19}$

Étape 1.3.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{20 - 1 - 1 \cdot 19}$

Étape 1.3.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $19$ .

$\frac{0}{20 - 1 - 19}$

Étape 1.3.6.2

Soustrayez $1$ de $20$ .

$\frac{0}{19 - 19}$

Étape 1.3.6.3

Soustrayez $19$ de $19$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{20 x - x^{2} - 19} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $20 x - x^{2} - 19$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $20$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Étape 3.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Étape 3.6

Comme $- 19$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 19$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x + 0}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Additionnez $20 - 2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x}$

Étape 3.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 x + 20}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 x + 20}$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{- 2 x + 20}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (- 2 x + 20)}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 20)}$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 20)}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} - 2 x + 20}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 20)}$

Étape 10

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 20)}$

Étape 11

Évaluez la limite de $20$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 20)}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 20)}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 20)}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 20)}$

Étape 13.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 2 \cdot 1 + 20}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{- 2 + 20}$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 2$ et $20$ .

$\frac{1}{18}$