Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} - 4}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 4^{x} - 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 4^{x} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{4^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.1.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{4^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{4^{1} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} - 4}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4^{x} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3.5

Additionnez $4^{x} \ln (4)$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x + 0}$

Étape 3.9

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4^{x} \ln (4)}{2 x}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{\ln (4)}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} lim_{x \to 1} \frac{4^{x}}{x}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 4^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 6

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\ln (4)}{2} \cdot \frac{4^{1}}{1}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez.

$\frac{\ln (4) \cdot 4^{1}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2

Évaluez l’exposant.

$\frac{\ln (4) \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 8.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\ln (4) \cdot 4}{2}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $\ln (4) \cdot 4$ .

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2}$

Étape 8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2 (1)}$

Étape 8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\ln (4) \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

Étape 8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (4) \cdot 2}{1}$

Étape 8.4.2.4

Divisez $\ln (4) \cdot 2$ par $1$ .

$\ln (4) \cdot 2$

Étape 8.5

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (4)$ .

$2 \ln (4)$