Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\sin (6 x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Étape 1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Étape 1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\sin (6 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (6 \cdot 0)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\sin (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Étape 3.5

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]}$

Étape 3.6.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Étape 3.7

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) (6 \cdot 1)}$

Étape 3.9

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) \cdot 6}$

Étape 3.10

Déplacez $6$ à gauche de $\cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{6 \cdot \cos (6 x)}$

Étape 3.11

Multipliez $6$ par $\cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{6 \cos (6 x)}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{6}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x)}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Étape 6

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Étape 7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Étape 8

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{\cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{0}}{\cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{0}}{\cos (6 \cdot 0)}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez.

$\frac{1 e^{0}}{6 \cos (6 \cdot 0)}$

Étape 10.2

Multipliez $e^{0}$ par $1$ .

$\frac{e^{0}}{6 \cos (6 \cdot 0)}$

Étape 10.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{e^{0}}{6 \cos (0)}$

Étape 10.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{e^{0}}{6 \cdot 1}$

Étape 10.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{6 \cdot 1}$

Étape 10.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{6}$