Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} - x$

Étape 1

Multipliez pour rationaliser le numérateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Développez le numérateur à l’aide de la méthode FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

Étape 2.2.2

Additionnez $8 x + 1$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

Étape 3

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Étape 4.1.2

Divisez $8$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Étape 4.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Étape 4.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Étape 4.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{8 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{8 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{8 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{8 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6.5

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + 1}$

Étape 9.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.2.1

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + 1}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1}$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $1 + 0$ et $0$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Étape 9.2.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{8}{\sqrt{1} + 1}$

Étape 9.2.2.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{8}{1 + 1}$

Étape 9.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8}{2}$

Étape 9.2.3

Divisez $8$ par $2$ .

$4$