Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 10 x + 15$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 5 x^{2} - 10 x + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$3 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 10 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 10 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$3 x^{2} + 10 x - 10 + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 10 x - 10 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $3 x^{2} + 10 x - 10$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x - 10$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 10 x - 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.3.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$6 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x + 10 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x + 10$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 10$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x + 10$ .

$6 x + 10$