Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{4}{5}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}$

Étape 1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Étape 1.3

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}$

Étape 1.5.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}$

Étape 1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.7.2

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{4}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 1$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{5}}]$

Étape 2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{5}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1})$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 5}{5}})$

Étape 2.7.2

Soustrayez $5$ de $- 1$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 6}{5}})$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{6}{5}})$

Étape 2.9

Associez $x^{- \frac{6}{5}}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Étape 2.10

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$ .

$- \frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{5 \cdot 5}$

Étape 2.11

Multipliez.

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Étape 2.11.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{25}$

Étape 2.11.2

Placez $x^{- \frac{6}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$- \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$