Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{7}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{7}}$ comme ${(x^{7})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{7})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{7})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7 \cdot - 1}]$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 7}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 7$ .

$- 7 x^{- 8}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{8}}$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $- 7$ et $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 7}{x^{8}}$

Étape 1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{7}{x^{8}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{7}{x^{8}}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{8}}$ comme ${(x^{8})}^{- 1}$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [{(x^{8})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{8})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{8 \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 8}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 8$ .

$- 7 (- 8 x^{- 9})$

Étape 2.4

Multipliez $- 8$ par $- 7$ .

$56 x^{- 9}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$56 \frac{1}{x^{9}}$

Étape 2.5.2

Associez $56$ et $\frac{1}{x^{9}}$ .

$f'' (x) = \frac{56}{x^{9}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $56$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{56}{x^{9}}$ par rapport à $x$ est $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$ .

$56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{9}}$ comme ${(x^{9})}^{- 1}$ .

$56 \frac{d}{d x} [{(x^{9})}^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{9})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$56 \frac{d}{d x} [x^{9 \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$56 \frac{d}{d x} [x^{- 9}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 9$ .

$56 (- 9 x^{- 10})$

Étape 3.4

Multipliez $- 9$ par $56$ .

$- 504 x^{- 10}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 504 \frac{1}{x^{10}}$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Associez $- 504$ et $\frac{1}{x^{10}}$ .

$\frac{- 504}{x^{10}}$

Étape 3.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{504}{x^{10}}$

Étape 4

La dérivée troisième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{504}{x^{10}}$ .

$- \frac{504}{x^{10}}$