Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x - (3 x^{2})$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 x - 3 x^{2}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 4 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 x + 4 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 4$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 6 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $- 6$ et $0$ .

$f''' (x) = - 6$

Étape 4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$