Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 4}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 4$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 4] - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 5 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x (6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.7

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{x (6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (6 x + 5 + 0) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.9

Additionnez $6 x + 5$ et $0$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x (6 x + 5) - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2} + 5 x - 4)}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (6 x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 x \cdot x + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{6 x^{2} + x \cdot 5 - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 \cdot x - (3 x^{2}) - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - (5 x) - - 4}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.1.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x - - 4}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Associez les termes opposés dans $6 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} - 5 x + 4$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Soustrayez $5 x$ de $5 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 0 + 4}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.2.2

Additionnez $6 x^{2} - 3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.3

Soustrayez $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4] - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x^{2} (6 x + \frac{d}{d x} [4]) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (6 x + 0) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2.7

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} (6 x) - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 6 - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4

Déplacez $6$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{6 \cdot x^{3} - (3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{6 x^{3} - (3 x^{2} + 4) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{3} + (- 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 4) x}{x^{4}}$

Étape 2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{2}) x - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.7.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 (3 x^{3}) - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3.1.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 2 \cdot 4 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x^{3} - 8 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3.2

Soustrayez $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{0 - 8 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.3.3

Soustrayez $8 x$ de $0$ .

$\frac{- 8 x}{x^{4}}$

Étape 2.7.4

Associez des termes.

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Étape 2.7.4.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.7.4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{x \cdot - 8}{x^{4}}$

Étape 2.7.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.4.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.7.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.7.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 8}{x^{3}}$

Étape 2.7.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{8}{x^{3}}$ .

$- \frac{8}{x^{3}}$