Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{e^{x}}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.6.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.6.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Étape 2.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ .

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Étape 2.6.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ .

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Étape 2.6.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 e^{x} (x - 1) x$ .

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Étape 2.6.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ .

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Étape 2.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Étape 2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.4.1

Associez les termes opposés dans $x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ .

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Étape 2.8.4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x e^{x}$ et $x (- 1 e^{x})$ .

$\frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.1.2

Soustrayez $e^{x} x$ de $e^{x} x$ .

$\frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.1.3

Additionnez $x (x e^{x})$ et $0$ .

$\frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.4.2.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.4.2.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 2.8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 2.8.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$