Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x^{2} + 9)}^{6}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 9$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 1.2.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} (2 x + 0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} (2 x)$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{5} x$

Étape 1.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $12 {(x^{2} + 9)}^{5} x$ .

$f' (x) = 12 x {(x^{2} + 9)}^{5}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x {(x^{2} + 9)}^{5}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{5}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{5}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{5}$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{5}] + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 9$ .

$12 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$12 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 9$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} (2 x)) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$12 (x (10 {(x^{2} + 9)}^{4} x) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 (x^{1} x (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 (x^{1} x^{1} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 (x^{1 + 1} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez ${(x^{2} + 9)}^{5}$ par $1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5})$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 9)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 9)}^{5}$

Étape 2.11.2

Multipliez $10$ par $12$ .

$120 (x^{2} ({(x^{2} + 9)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 9)}^{5}$

Étape 2.11.3

Factorisez $12 {(x^{2} + 9)}^{4}$ à partir de $120 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{4} + 12 {(x^{2} + 9)}^{5}$ .

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Étape 2.11.3.1

Factorisez $12 {(x^{2} + 9)}^{4}$ à partir de $120 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{4}$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 9)}^{5}$

Étape 2.11.3.2

Factorisez $12 {(x^{2} + 9)}^{4}$ à partir de $12 {(x^{2} + 9)}^{5}$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 9)}^{4} (x^{2} + 9)$

Étape 2.11.3.3

Factorisez $12 {(x^{2} + 9)}^{4}$ à partir de $12 {(x^{2} + 9)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 9)}^{4} (x^{2} + 9)$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{4} (10 x^{2} + x^{2} + 9)$

Étape 2.11.4

Additionnez $10 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 {(x^{2} + 9)}^{4} (11 x^{2} + 9)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 {(x^{2} + 9)}^{4} (11 x^{2} + 9)$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{4} (11 x^{2} + 9)$