Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 3$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - (x - 3) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - (x - 3)}{x^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - x - - 3}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - - 3}{x^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $- 3$ de $0$ .

$\frac{- - 3}{x^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f' (x) = \frac{3}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$3 (- 2 x^{- 3})$

Étape 2.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 6 x^{- 3}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 6}{x^{3}}$

Étape 2.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{3}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{6}{x^{3}}$ .

$- \frac{6}{x^{3}}$