Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ comme ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$- 2 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 {(x - 1)}^{- 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.4.2

Associez $4$ et $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$