Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 + 8 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 + 8 x$ .

$f' (x) = \frac{(3 + 8 x) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (3 + 8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(3 + 8 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (3 + 8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $3 + 8 x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((3 + 8 x) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (3 + 8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (8 x))}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (8 x))}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} (8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} (8 \frac{d}{d x} (x))}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - 8 x^{2} \frac{d}{d x} x}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - 8 x^{2} \cdot 1}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.2.9

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 3 + 2 (8 x)) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x) + 2 (8 x) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 (8 x) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 (8 (x \cdot x)) - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 (8 x^{2}) - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.3

Multipliez $8$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 16 x^{2} - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $8 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{8 x^{2} + 6 x}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Factorisez $2 x$ à partir de $8 x^{2} + 6 x$ .

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Étape 1.3.5.1

Factorisez $2 x$ à partir de $8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x (4 x) + 6 x}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.5.2

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (4 x) + 2 x (3)}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.5.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (4 x) + 2 x (3)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}})$

Étape 2.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (4 x + 3)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{({(8 x + 3)}^{2})}^{2}})$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(8 x + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (4 x + 3)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{2 \cdot 2}})$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (4 x + 3)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 4 x + 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x \frac{d}{d x} (4 x + 3) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.5.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.5.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.5.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.5.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (4 \cdot x + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (4 x + (4 x + 3) \cdot 1) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.5.8.1

Multipliez $4 x + 3$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (4 x + 4 x + 3) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.5.8.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (8 x + 3) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.6

Multipliez ${(8 x + 3)}^{2}$ par $8 x + 3$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.1

Multipliez ${(8 x + 3)}^{2}$ par $8 x + 3$ .

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Étape 2.6.1.1

Élevez $8 x + 3$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (8 x + 3) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2 + 1} - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.6.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 8 x + 3$ .

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Étape 2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x + 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) (2 u \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x + 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) (2 (8 x + 3) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.8

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.8.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.8.2

Factorisez $8 x + 3$ à partir de ${(8 x + 3)}^{3} - 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} [8 x + 3])$ .

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Étape 2.8.2.1

Factorisez $8 x + 3$ à partir de ${(8 x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.8.2.2

Factorisez $8 x + 3$ à partir de $- 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} [8 x + 3])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{2} + (8 x + 3) (- 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.8.2.3

Factorisez $8 x + 3$ à partir de $(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{2} + (8 x + 3) (- 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [8 x + 3]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) ({(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Étape 2.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.9.1

Factorisez $8 x + 3$ à partir de ${(8 x + 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) ({(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{3}})$

Étape 2.9.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) ({(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{3}})$

Étape 2.9.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Étape 2.11

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Étape 2.13

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Étape 2.14

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 + 0)}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Étape 2.15

Associez les fractions.

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Étape 2.15.1

Additionnez $8$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Étape 2.15.2

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Étape 2.15.3

Associez $2$ et $\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16

Simplifiez

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Étape 2.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 ({(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 {(8 x + 3)}^{2} + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.16.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.16.3.1.1

Réécrivez ${(8 x + 3)}^{2}$ comme $(8 x + 3) (8 x + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((8 x + 3) (8 x + 3)) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.2

Développez $(8 x + 3) (8 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.16.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (8 x (8 x + 3) + 3 (8 x + 3)) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x + 3)) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.16.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.16.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 (8 \cdot (8 x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.16.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (8 \cdot (8 (x \cdot x)) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (8 \cdot (8 x^{2}) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.3.1.3

Multipliez $8$ par $8$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.3.1.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.3.1.5

Multipliez $8$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.3.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 9) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.3.2

Additionnez $24 x$ et $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 48 x + 9) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2}) + 2 (48 x) + 2 \cdot 9 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.5

Simplifiez

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Étape 2.16.3.1.5.1

Multipliez $64$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 2 (48 x) + 2 \cdot 9 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.5.2

Multipliez $48$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 2 \cdot 9 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.16.3.1.6.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 16 (x \cdot x) \cdot 4) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 16 x^{2} \cdot 4) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.7

Multipliez $4$ par $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 64 x^{2}) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.8

Multipliez $- 64$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.9

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} + 2 (- 48 x)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.1.10

Multipliez $- 48$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} - 96 x}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.2

Associez les termes opposés dans $128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} - 96 x$ .

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Étape 2.16.3.2.1

Soustrayez $128 x^{2}$ de $128 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{96 x + 18 + 0 - 96 x}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.2.2

Additionnez $96 x + 18$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{96 x + 18 - 96 x}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.2.3

Soustrayez $96 x$ de $96 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 18}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 2.16.3.2.4

Additionnez $0$ et $18$ .

$f'' (x) = \frac{18}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{18}{{(8 x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{18}{{(8 x + 3)}^{3}}$