Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{6}{x^{2} - 16}$

Étape 1

Écrivez $\frac{6}{x^{2} - 16}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{6}{x^{2} - 16}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6}{x^{2} - 16}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 16})$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 16}$ comme ${(x^{2} - 16)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 16)}^{- 1})$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 6 (- {(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (x) = - 6 ({(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Étape 2.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))$

Étape 2.1.3.4

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x)$

Étape 2.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f' (x) = - 12 {(x^{2} - 16)}^{- 2} x$

Étape 2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 12 \frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Étape 2.1.5

Associez des termes.

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Étape 2.1.5.1

Associez $- 12$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Étape 2.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Étape 2.1.5.3

Associez $x$ et $\frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 2.1.5.4

Déplacez $12$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$12 x = 0$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $12 x = 0$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x = 0$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $0$ par $12$ .

$x = 0$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{2} - 16)}^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

${(x^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Étape 5.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

${((x + 4) (x - 4))}^{2} = 0$

Étape 5.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 4) (x - 4)$ .

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 5.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 5.2.3

Définissez ${(x + 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.2.3.1

Définissez ${(x + 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 5.2.3.2

Résolvez ${(x + 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 5.2.3.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5.2.4

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.2.4.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 5.2.4.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.2.4.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 4, 4$

Étape 5.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = - \frac{12 (- 5)}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $12$ par $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{(25 - 16)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $16$ de $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{9^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{81}$

Étape 7.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 60$ et $81$ .

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Étape 7.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 60$ .

$f' (- 5) = - \frac{3 (- 20)}{81}$

Étape 7.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

Étape 7.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 5) = - \frac{- 20}{27}$

Étape 7.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 5) = \frac{20}{27}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $\frac{20}{27}$ .

$\frac{20}{27}$

Étape 7.3

Sur $x = - 5$ la dérivée est $\frac{20}{27}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 4)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 4)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 4, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{12 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Multipliez $12$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(4 - 16)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $16$ de $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(- 12)}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{144}$

Étape 8.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $144$ .

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Étape 8.2.3.1.1

Factorisez $24$ à partir de $- 24$ .

$f' (- 2) = - \frac{24 (- 1)}{144}$

Étape 8.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.1.2.1

Factorisez $24$ à partir de $144$ .

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

Étape 8.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

Étape 8.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{6}$

Étape 8.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = \frac{1}{6}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 8.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $\frac{1}{6}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 4, 0)$ .

Augmente sur $(- 4, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - \frac{12 (2)}{{({(2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(2^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(4 - 16)}^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $16$ de $4$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(- 12)}^{2}}$

Étape 9.2.2.3

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{144}$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun à $24$ et $144$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $24$ à partir de $24$ .

$f' (2) = - \frac{24 (1)}{144}$

Étape 9.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $24$ à partir de $144$ .

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

Étape 9.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (2) = - \frac{1}{6}$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Étape 9.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $- \frac{1}{6}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 4)$ .

Diminue sur $(0, 4)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = - \frac{12 (5)}{{({(5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Multipliez $12$ par $5$ .

$f' (5) = - \frac{60}{{(5^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = - \frac{60}{{(25 - 16)}^{2}}$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $16$ de $25$ .

$f' (5) = - \frac{60}{9^{2}}$

Étape 10.2.2.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = - \frac{60}{81}$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun à $60$ et $81$ .

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Étape 10.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $60$ .

$f' (5) = - \frac{3 (20)}{81}$

Étape 10.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

Étape 10.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

Étape 10.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (5) = - \frac{20}{27}$

Étape 10.2.4

La réponse finale est $- \frac{20}{27}$ .

$- \frac{20}{27}$

Étape 10.3

Sur $x = 5$ la dérivée est $- \frac{20}{27}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(4, \infty)$ .

Diminue sur $(4, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 11

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

Diminue sur : $(0, 4), (4, \infty)$

Étape 12