Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1

Écrivez $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.5

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.10

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.16

Associez $- 2$ et $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{(2) (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.18

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.18.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.18.2.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.18.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.18.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2} + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.18.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.18.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.18.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.18.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.18.5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.18.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.18.7

Réécrivez $- (3 x^{2} - 1)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.18.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.18.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Étape 2.1.18.10

Multipliez $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (3 x^{2} - 1) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{2} - 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{2} - 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.3.1.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 1$ par $1$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{0}{2}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Étape 3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 1$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 1$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Étape 3.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 3.3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.3.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 3.3.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.3.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 3.3.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 3.3.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.3.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 3.3.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.57735026$ dans l’expression.

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 (3 {(- 1.57735026)}^{2} - 1)}{{({(- 1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.57735026$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 (3 \cdot 2.48803384 - 1)}{{({(- 1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $2.48803384$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 (7.46410152 - 1)}{{({(- 1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $1$ de $7.46410152$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{({(- 1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Élevez $- 1.57735026$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{(2.48803384 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $2.48803384$ et $1$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{3.48803384}^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $3.48803384$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{42.43674549}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Multipliez $2$ par $6.46410152$ .

$f' (- 1.57735026) = \frac{12.92820305}{42.43674549}$

Étape 6.2.3.2

Divisez $12.92820305$ par $42.43674549$ .

$f' (- 1.57735026) = 0.30464643$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $0.30464643$ .

$0.30464643$

Étape 6.3

Sur $x = - 1.57735026$ la dérivée est $0.30464643$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 1)}{{({(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f' (0) = \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{1^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (0) = \frac{- 2}{1}$

Étape 7.2.3.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$f' (0) = - 2$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 7.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- 2$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Diminue sur $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.57735026$ dans l’expression.

$f' (1.57735026) = \frac{2 (3 {(1.57735026)}^{2} - 1)}{{({(1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Élevez $1.57735026$ à la puissance $2$ .

$f' (1.57735026) = \frac{2 (3 \cdot 2.48803384 - 1)}{{({1.57735026}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $3$ par $2.48803384$ .

$f' (1.57735026) = \frac{2 (7.46410152 - 1)}{{({1.57735026}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.3

Soustrayez $1$ de $7.46410152$ .

$f' (1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{({1.57735026}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Élevez $1.57735026$ à la puissance $2$ .

$f' (1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{(2.48803384 + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $2.48803384$ et $1$ .

$f' (1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{3.48803384}^{3}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $3.48803384$ à la puissance $3$ .

$f' (1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{42.43674549}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Multipliez $2$ par $6.46410152$ .

$f' (1.57735026) = \frac{12.92820305}{42.43674549}$

Étape 8.2.3.2

Divisez $12.92820305$ par $42.43674549$ .

$f' (1.57735026) = 0.30464643$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $0.30464643$ .

$0.30464643$

Étape 8.3

Sur $x = 1.57735026$ la dérivée est $0.30464643$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Diminue sur : $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 10