Calcul infinitésimal Exemples

$(2 - 2 x) e^{x}$

Étape 1

Écrivez $(2 - 2 x) e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 - 2 x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$(2 - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.1.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \cdot 1)$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \cdot - 2$

Étape 2.1.3.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{x}$ .

$(2 - 2 x) e^{x} - 2 \cdot e^{x}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Étape 2.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.4.2.1

Soustrayez $2 e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$- 2 x e^{x} + 0$

Étape 2.1.4.2.2

Additionnez $- 2 x e^{x}$ et $0$ .

$- 2 x e^{x}$

Étape 2.1.4.3

Réorganisez les facteurs de $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 e^{x} x$

Étape 2.1.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{x}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 x e^{x}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x e^{x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x e^{x} = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Étape 3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 3.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 x e^{x} = 0$ vraie.

$x = 0$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - 2 x e^{x}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - 2 \cdot - 1 \cdot e^{- 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot e^{- 1}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

Étape 6.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{e}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $\frac{2}{e}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - 2 \cdot 1 \cdot e^{1}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (1) = - 2 e$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $- 2 e$ .

$- 2 e$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 2 e$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \infty)$ .

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0)$

Diminue sur : $(0, \infty)$

Étape 9