Calcul infinitésimal Exemples

$(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Étape 1

Écrivez $(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$ comme une fonction.

$f (x) = (x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 9$ et $g (x) = x^{2} - 18 x - 162$ .

$f' (x) = (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 18 x - 162) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 18 x - 162$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 162]$ .

$f' (x) = (x - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Étape 2.1.2.3

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Étape 2.1.2.6

Comme $- 162$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 162$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Étape 2.1.2.7

Additionnez $2 x - 18$ et $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Étape 2.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Étape 2.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))$

Étape 2.1.2.10

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + 0)$

Étape 2.1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \cdot 1$

Étape 2.1.2.11.2

Multipliez $x^{2} - 18 x - 162$ par $1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + x^{2} - 18 x - 162$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (x - 9) (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Étape 2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Étape 2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Étape 2.1.3.4

Associez des termes.

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Étape 2.1.3.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Étape 2.1.3.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Étape 2.1.3.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Étape 2.1.3.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Étape 2.1.3.4.5

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Étape 2.1.3.4.6

Déplacez $- 18$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 \cdot x - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Étape 2.1.3.4.7

Multipliez $- 9$ par $- 18$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

Étape 2.1.3.4.8

Soustrayez $18 x$ de $- 18 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 36 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

Étape 2.1.3.4.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 162 - 18 x - 162$

Étape 2.1.3.4.10

Soustrayez $18 x$ de $- 36 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 162 - 162$

Étape 2.1.3.4.11

Soustrayez $162$ de $162$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 0$

Étape 2.1.3.4.12

Additionnez $3 x^{2} - 54 x$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 54 x$ .

$3 x^{2} - 54 x$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 54 x = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 54 x = 0$

Étape 3.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} - 54 x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 54 x = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 54 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 18) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (- 18)$ .

$3 x (x - 18) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 18 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $x - 18$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 18$ égal à $0$ .

$x - 18 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 18$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x - 18) = 0$ vraie.

$x = 0, 18$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, 18$ .

$0, 18$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 18) \cup (18, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 54 \cdot - 1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 - 54 \cdot - 1$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (- 1) = 3 - 54 \cdot - 1$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 54$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 + 54$

Étape 6.2.2

Additionnez $3$ et $54$ .

$f' (- 1) = 57$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $57$ .

$57$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $57$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 0)$ .

Augmente sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 18)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f' (9) = 3 {(9)}^{2} - 54 \cdot 9$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f' (9) = 3 \cdot 81 - 54 \cdot 9$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $81$ .

$f' (9) = 243 - 54 \cdot 9$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 54$ par $9$ .

$f' (9) = 243 - 486$

Étape 7.2.2

Soustrayez $486$ de $243$ .

$f' (9) = - 243$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 243$ .

$- 243$

Étape 7.3

Sur $x = 9$ la dérivée est $- 243$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 18)$ .

Diminue sur $(0, 18)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(18, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $19$ dans l’expression.

$f' (19) = 3 {(19)}^{2} - 54 \cdot 19$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$f' (19) = 3 \cdot 361 - 54 \cdot 19$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $3$ par $361$ .

$f' (19) = 1083 - 54 \cdot 19$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 54$ par $19$ .

$f' (19) = 1083 - 1026$

Étape 8.2.2

Soustrayez $1026$ de $1083$ .

$f' (19) = 57$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $57$ .

$57$

Étape 8.3

Sur $x = 19$ la dérivée est $57$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(18, \infty)$ .

Augmente sur $(18, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 0), (18, \infty)$

Diminue sur : $(0, 18)$

Étape 10