Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x - 3}{x + 4}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x - 3}{x + 4}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 3$ et $g (x) = x + 4$ .

$\frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 4) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.2

Multipliez $x + 4$ par $1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.2.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3)}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 4 - x - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x + 4 - x - - 3$ .

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Étape 2.1.3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.1.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$\frac{4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{4 + 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$7 = 0$

Étape 3.3

Comme $7 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 5.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 6

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$ augmente et diminue est $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ .

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = \frac{7}{{((- 5) + 4)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Additionnez $- 5$ et $4$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{1}$

Étape 7.2.2

Divisez $7$ par $1$ .

$f' (- 5) = 7$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $7$ .

$7$

Étape 7.3

Sur $x = - 5$ la dérivée est $7$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 4)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 4)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 4, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = \frac{7}{{((- 3) + 4)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1.1

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$f' (- 3) = \frac{7}{1^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (- 3) = \frac{7}{1}$

Étape 8.2.2

Divisez $7$ par $1$ .

$f' (- 3) = 7$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $7$ .

$7$

Étape 8.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $7$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 4, \infty)$ .

Augmente sur $(- 4, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 4), (- 4, \infty)$

Étape 10