Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$

Étape 1

Écrivez $x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 63 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 63 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 63$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 63 x$ par rapport à $x$ est $- 63 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 63 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 63 \cdot 1$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 63$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 63$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 12 x - 63$ .

$3 x^{2} - 12 x - 63$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 12 x - 63 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 12 x - 63 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 12 x - 63$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 63 = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 63 = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 63$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 21 = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 21 = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 21$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 21) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x - 21$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 21$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 7, 3$

Étape 3.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 7) (x + 3)) = 0$

Étape 3.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 7) (x + 3) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 3.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 7) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 7, - 3$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $7, - 3$ .

$7, - 3$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4 - 63$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot - 4 - 63$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 12 \cdot - 4 - 63$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = 48 + 48 - 63$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $48$ et $48$ .

$f' (- 4) = 96 - 63$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $63$ de $96$ .

$f' (- 4) = 33$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $33$ .

$33$

Étape 6.3

Sur $x = - 4$ la dérivée est $33$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 3)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, 7)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 - 63$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 - 63$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 - 63$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$f' (2) = 12 - 24 - 63$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $24$ de $12$ .

$f' (2) = - 12 - 63$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $63$ de $- 12$ .

$f' (2) = - 75$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 75$ .

$- 75$

Étape 7.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $- 75$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 3, 7)$ .

Diminue sur $(- 3, 7)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(7, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = 3 {(8)}^{2} - 12 \cdot 8 - 63$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f' (8) = 3 \cdot 64 - 12 \cdot 8 - 63$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $3$ par $64$ .

$f' (8) = 192 - 12 \cdot 8 - 63$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $8$ .

$f' (8) = 192 - 96 - 63$

Étape 8.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $96$ de $192$ .

$f' (8) = 96 - 63$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $63$ de $96$ .

$f' (8) = 33$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $33$ .

$33$

Étape 8.3

Sur $x = 8$ la dérivée est $33$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(7, \infty)$ .

Augmente sur $(7, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 3), (7, \infty)$

Diminue sur : $(- 3, 7)$

Étape 10