Calcul infinitésimal Exemples

$x + \frac{6}{x}$

Étape 1

Écrivez $x + \frac{6}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x + \frac{6}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{6}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{x})$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{6}{x})$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6}{x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 1 + 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 2.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 6 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 6 (- x^{- 2})$

Étape 2.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (x) = 1 - 6 x^{- 2}$

Étape 2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 6 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Associez des termes.

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Étape 2.1.4.1.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 6}{x^{2}}$

Étape 2.1.4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 1 - \frac{6}{x^{2}}$

Étape 2.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{6}{x^{2}} + 1$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{6}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{6}{x^{2}} + 1$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{6}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{6}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{6}{x^{2}} = - 1$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 3.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{6}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{6}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ .

$- \frac{6}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 6}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 3.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 6 = - x^{2}$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} = - 6$ .

$- x^{2} = - 6$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 6$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 6$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 3.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Divisez $- 6$ par $- 1$ .

$x^{2} = 6$

Étape 3.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Étape 3.5.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{6}$

Étape 3.5.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{6}$

Étape 3.5.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\sqrt{6}, - \sqrt{6}$ .

$\sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{6}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{6})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.4494898$ dans l’expression.

$f' (- 3.4494898) = - \frac{6}{{(- 3.4494898)}^{2}} + 1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 3.4494898$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3.4494898) = - \frac{6}{11.89897988} + 1$

Étape 7.2.1.2

Divisez $6$ par $11.89897988$ .

$f' (- 3.4494898) = - 1 \cdot 0.5042449 + 1$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0.5042449$ .

$f' (- 3.4494898) = - 0.5042449 + 1$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 0.5042449$ et $1$ .

$f' (- 3.4494898) = 0.49575509$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0.49575509$ .

$0.49575509$

Étape 7.3

Sur $x = - 3.4494898$ la dérivée est $0.49575509$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - \sqrt{6})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \sqrt{6})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2.4494898, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.2247449$ dans l’expression.

$f' (- 1.2247449) = - \frac{6}{{(- 1.2247449)}^{2}} + 1$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $- 1.2247449$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.2247449) = - \frac{6}{1.50000007} + 1$

Étape 8.2.1.2

Divisez $6$ par $1.50000007$ .

$f' (- 1.2247449) = - 1 \cdot 3.99999981 + 1$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $3.99999981$ .

$f' (- 1.2247449) = - 3.99999981 + 1$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 3.99999981$ et $1$ .

$f' (- 1.2247449) = - 2.99999981$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 2.99999981$ .

$- 2.99999981$

Étape 8.3

Sur $x = - 1.2247449$ la dérivée est $- 2.99999981$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2.4494898, 0)$ .

Diminue sur $(- \sqrt{6}, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \sqrt{6})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1.2247449$ dans l’expression.

$f' (1.2247449) = - \frac{6}{{(1.2247449)}^{2}} + 1$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $1.2247449$ à la puissance $2$ .

$f' (1.2247449) = - \frac{6}{1.50000007} + 1$

Étape 9.2.1.2

Divisez $6$ par $1.50000007$ .

$f' (1.2247449) = - 1 \cdot 3.99999981 + 1$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $3.99999981$ .

$f' (1.2247449) = - 3.99999981 + 1$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 3.99999981$ et $1$ .

$f' (1.2247449) = - 2.99999981$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $- 2.99999981$ .

$- 2.99999981$

Étape 9.3

Sur $x = 1.2247449$ la dérivée est $- 2.99999981$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \sqrt{6})$ .

Diminue sur $(0, \sqrt{6})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\sqrt{6}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $3.4494898$ dans l’expression.

$f' (3.4494898) = - \frac{6}{{(3.4494898)}^{2}} + 1$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Élevez $3.4494898$ à la puissance $2$ .

$f' (3.4494898) = - \frac{6}{11.89897988} + 1$

Étape 10.2.1.2

Divisez $6$ par $11.89897988$ .

$f' (3.4494898) = - 1 \cdot 0.5042449 + 1$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0.5042449$ .

$f' (3.4494898) = - 0.5042449 + 1$

Étape 10.2.2

Additionnez $- 0.5042449$ et $1$ .

$f' (3.4494898) = 0.49575509$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $0.49575509$ .

$0.49575509$

Étape 10.3

Sur $x = 3.4494898$ la dérivée est $0.49575509$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\sqrt{6}, \infty)$ .

Augmente sur $(\sqrt{6}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 11

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - \sqrt{6}), (\sqrt{6}, \infty)$

Diminue sur : $(- \sqrt{6}, 0), (0, \sqrt{6})$

Étape 12