Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Étape 1

Écrivez $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 64 x$ par rapport à $x$ est $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $- 64$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Étape 3.2.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Étape 3.2.1.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 3.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Étape 3.2.2.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.2.2.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 3.2.2.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 3.2.2.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 3.2.2.3.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 3.2.2.3.5

Soustrayez $9$ de $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 3.2.2.3.6

Multipliez $24$ par $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Étape 3.2.2.3.7

Additionnez $- 8$ et $24$ .

$16 - 16$

Étape 3.2.2.3.8

Soustrayez $16$ de $16$ .

$0$

Étape 3.2.2.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Étape 3.2.2.5

Divisez $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ par $x - 1$ .

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Étape 3.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Étape 3.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Étape 3.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 3.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 3.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Étape 3.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 3.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 3.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 3.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 3.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Étape 3.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Étape 3.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Étape 3.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Étape 3.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x - 16$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Étape 3.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Étape 3.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 8 x + 16$

Étape 3.2.2.6

Écrivez $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ comme un ensemble de facteurs.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez.

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Étape 3.2.3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.2.3.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Étape 3.2.3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 3.2.3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 3.2.3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Étape 3.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.5

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 3.5.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 1, 4$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $1, 4$ .

$1, 4$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Étape 6.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $96$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 - 64$

Étape 6.2.2.3

Soustrayez $64$ de $0$ .

$f' (0) = - 64$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 64$ .

$- 64$

Étape 6.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- 64$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 {(\frac{5}{2})}^{3} - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{5^{3}}{2^{3}}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{2^{3}}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{8}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 (2)}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 \cdot 2}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.6

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 \frac{25}{2^{2}} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 (\frac{25}{4}) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.8

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $- 36$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 4 (- 9) (\frac{25}{4}) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 4 \cdot (- 9 (\frac{25}{4})) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 9 \cdot 25 + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.9

Multipliez $- 9$ par $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $96$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 2 (48) (\frac{5}{2}) - 64$

Étape 7.2.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 2 \cdot (48 (\frac{5}{2})) - 64$

Étape 7.2.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 48 \cdot 5 - 64$

Étape 7.2.1.11

Multipliez $48$ par $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 240 - 64$

Étape 7.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 7.2.2.1

Écrivez $- 225$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225}{1} + 240 - 64$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $\frac{- 225}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225}{1} \cdot \frac{2}{2} + 240 - 64$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $\frac{- 225}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + 240 - 64$

Étape 7.2.2.4

Écrivez $240$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240}{1} - 64$

Étape 7.2.2.5

Multipliez $\frac{240}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240}{1} \cdot \frac{2}{2} - 64$

Étape 7.2.2.6

Multipliez $\frac{240}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} - 64$

Étape 7.2.2.7

Écrivez $- 64$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64}{1}$

Étape 7.2.2.8

Multipliez $\frac{- 64}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2.2.9

Multipliez $\frac{- 64}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 225 \cdot 2 + 240 \cdot 2 - 64 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $- 225$ par $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 240 \cdot 2 - 64 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $240$ par $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 480 - 64 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.4.3

Multipliez $- 64$ par $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 480 - 128}{2}$

Étape 7.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.5.1

Soustrayez $450$ de $125$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 325 + 480 - 128}{2}$

Étape 7.2.5.2

Additionnez $- 325$ et $480$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{155 - 128}{2}$

Étape 7.2.5.3

Soustrayez $128$ de $155$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{27}{2}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $\frac{27}{2}$ .

$\frac{27}{2}$

Étape 7.3

Sur $x = \frac{5}{2}$ la dérivée est $\frac{27}{2}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, 4)$ .

Augmente sur $(1, 4)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = 4 {(5)}^{3} - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f' (5) = 4 \cdot 125 - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $4$ par $125$ .

$f' (5) = 500 - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Étape 8.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = 500 - 36 \cdot 25 + 96 (5) - 64$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $25$ .

$f' (5) = 500 - 900 + 96 (5) - 64$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $96$ par $5$ .

$f' (5) = 500 - 900 + 480 - 64$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $900$ de $500$ .

$f' (5) = - 400 + 480 - 64$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $- 400$ et $480$ .

$f' (5) = 80 - 64$

Étape 8.2.2.3

Soustrayez $64$ de $80$ .

$f' (5) = 16$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $16$ .

$16$

Étape 8.3

Sur $x = 5$ la dérivée est $16$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(4, \infty)$ .

Augmente sur $(4, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(1, 4), (4, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 1)$

Étape 10