Calcul infinitésimal Exemples

$- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24$

Étape 1

Définissez $- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24$ égal à $0$ .

$- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{3} + 21 x^{2} - 42 x + 24$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$3 (- x^{3}) + 21 x^{2} - 42 x + 24 = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $21 x^{2}$ .

$3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2}) - 42 x + 24 = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 42 x$ .

$3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 24 = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 3 (8) = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{3}) + 3 (7 x^{2})$ .

$3 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 3 (8) = 0$

Étape 2.1.1.6

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 3 (- 14 x)$ .

$3 (- x^{3} + 7 x^{2} - 14 x) + 3 (8) = 0$

Étape 2.1.1.7

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{3} + 7 x^{2} - 14 x) + 3 (8)$ .

$3 (- x^{3} + 7 x^{2} - 14 x + 8) = 0$

Étape 2.1.2

Regroupez les termes.

$3 (- x^{3} + 8 + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3} + 8$ .

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$3 (- (x^{3}) + 8 + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Étape 2.1.3.2

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$3 (- (x^{3}) - 1 \cdot - 8 + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - 1 (- 8)$ .

$3 (- (x^{3} - 8) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$3 (- (x^{3} - 2^{3}) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Étape 2.1.5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$3 (- ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez.

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Étape 2.1.6.1

Simplifiez

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Étape 2.1.6.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 (- ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Étape 2.1.6.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 (- ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Étape 2.1.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x^{2} - 14 x) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $7 x$ à partir de $7 x^{2} - 14 x$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $7 x$ à partir de $7 x^{2}$ .

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x) - 14 x) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $7 x$ à partir de $- 14 x$ .

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x) + 7 x (- 2)) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez $7 x$ à partir de $7 x (x) + 7 x (- 2)$ .

$3 (- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x - 2)) = 0$

Étape 2.1.8

Factorisez $x - 2$ à partir de $- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x (x - 2)$ .

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Étape 2.1.8.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$3 ((x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + 7 x (x - 2)) = 0$

Étape 2.1.8.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $7 x (x - 2)$ .

$3 ((x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (7 x)) = 0$

Étape 2.1.8.3

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (7 x)$ .

$3 ((x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4) + 7 x)) = 0$

Étape 2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$3 ((x - 2) (- 1 x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 4 + 7 x)) = 0$

Étape 2.1.10

Simplifiez

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Étape 2.1.10.1

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 4 + 7 x)) = 0$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} - 2 x - 1 \cdot 4 + 7 x)) = 0$

Étape 2.1.10.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} - 2 x - 4 + 7 x)) = 0$

Étape 2.1.11

Additionnez $- 2 x$ et $7 x$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} + 5 x - 4)) = 0$

Étape 2.1.12

Factorisez.

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Étape 2.1.12.1

Factorisez.

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Étape 2.1.12.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.12.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 2.1.12.1.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} + 5 (x) - 4)) = 0$

Étape 2.1.12.1.1.1.2

Réécrivez $5$ comme $1$ plus $4$

$3 ((x - 2) (- x^{2} + (1 + 4) x - 4)) = 0$

Étape 2.1.12.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 ((x - 2) (- x^{2} + 1 x + 4 x - 4)) = 0$

Étape 2.1.12.1.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 ((x - 2) (- x^{2} + x + 4 x - 4)) = 0$

Étape 2.1.12.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.12.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$3 ((x - 2) ((- x^{2} + x) + 4 x - 4)) = 0$

Étape 2.1.12.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 ((x - 2) (x (- x + 1) - 4 (- x + 1))) = 0$

Étape 2.1.12.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 1$ .

$3 ((x - 2) ((- x + 1) (x - 4))) = 0$

Étape 2.1.12.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 ((x - 2) (- x + 1) (x - 4)) = 0$

Étape 2.1.12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 2) (- x + 1) (x - 4) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$- x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.4

Définissez $- x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $- x + 1$ égal à $0$ .

$- x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $- x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 2) (- x + 1) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 2, 1, 4$

Étape 3