Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.3.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Étape 1.1.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x \ln (x) + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.2.5

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.2.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.2.7

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Étape 1.1.2.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Étape 1.1.2.4.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 \ln (x) = - 3$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $2 \ln (x) = - 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 \ln (x) = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Étape 1.2.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 1.2.5

Réécrivez $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Étape 1.2.6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Étape 1.2.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 2.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0.11$ dans l’expression.

$f'' (0.11) = 2 \ln (0.11) + 3$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Simplifiez $2 \ln (0.11)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f'' (0.11) = \ln ({0.11}^{2}) + 3$

Étape 4.2.1.2

Élevez $0.11$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.11) = \ln (0.0121) + 3$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $\ln (0.0121) + 3$ .

$\ln (0.0121) + 3$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ car $f'' (0.11)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = 2 \ln (3) + 3$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 \ln (3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f'' (3) = \ln (3^{2}) + 3$

Étape 5.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = \ln (9) + 3$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $\ln (9) + 3$ .

$\ln (9) + 3$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ car $f'' (3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7