Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{4} - 15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $4$ par $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $60 x^{3} - 30 x$ .

$60 x^{3} - 30 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $60 x^{3} - 30 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$60 x^{3} - 30 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $30 x$ à partir de $60 x^{3} - 30 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $30 x$ à partir de $60 x^{3}$ .

$30 x (2 x^{2}) - 30 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $30 x$ à partir de $- 30 x$ .

$30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $30 x$ à partir de $30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1)$ .

$30 x (2 x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $2 x^{2} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $2 x^{2} - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $2 x^{2} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 1$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.2.5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $30 x (2 x^{2} - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = 60 {(- 3)}^{3} - 30 \cdot - 3$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 3) = 60 \cdot - 27 - 30 \cdot - 3$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $60$ par $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 1620 - 30 \cdot - 3$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 30$ par $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 1620 + 90$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 1620$ et $90$ .

$f'' (- 3) = - 1530$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 1530$ .

$- 1530$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ car $f'' (- 3)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.35$ dans l’expression.

$f'' (- 0.35) = 60 {(- 0.35)}^{3} - 30 \cdot - 0.35$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.35$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.35) = 60 \cdot - 0.042875 - 30 \cdot - 0.35$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $60$ par $- 0.042875$ .

$f'' (- 0.35) = - 2.5725 - 30 \cdot - 0.35$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 30$ par $- 0.35$ .

$f'' (- 0.35) = - 2.5725 + 10.5$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 2.5725$ et $10.5$ .

$f'' (- 0.35) = 7.9275$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $7.9275$ .

$7.9275$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ car $f'' (- 0.35)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.35$ dans l’expression.

$f'' (0.35) = 60 {(0.35)}^{3} - 30 \cdot 0.35$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.35$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.35) = 60 \cdot 0.042875 - 30 \cdot 0.35$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $60$ par $0.042875$ .

$f'' (0.35) = 2.5725 - 30 \cdot 0.35$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 30$ par $0.35$ .

$f'' (0.35) = 2.5725 - 10.5$

Étape 6.2.2

Soustrayez $10.5$ de $2.5725$ .

$f'' (0.35) = - 7.9275$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 7.9275$ .

$- 7.9275$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ car $f'' (0.35)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = 60 {(3)}^{3} - 30 \cdot 3$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (3) = 60 \cdot 27 - 30 \cdot 3$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $60$ par $27$ .

$f'' (3) = 1620 - 30 \cdot 3$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 30$ par $3$ .

$f'' (3) = 1620 - 90$

Étape 7.2.2

Soustrayez $90$ de $1620$ .

$f'' (3) = 1530$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $1530$ .

$1530$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ car $f'' (3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9