Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Étape 1.1.1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x + 41$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))$

Étape 1.1.1.2.5

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))$

Étape 1.1.1.2.6

Comme $41$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $41$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + 0)$

Étape 1.1.1.2.7

Additionnez $2 x - 8$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8)$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} (2 x - 8)$ .

$f' (x) = (2 x - 8) (\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41})$

Étape 1.1.1.3.2

Multipliez $2 x - 8$ par $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Étape 1.1.1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Étape 1.1.1.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 41}$

Étape 1.1.1.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 4$ et $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.4.2

Multipliez $x^{2} - 8 x + 41$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x + 41$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.7

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.9

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.10

Comme $41$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $41$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.11

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.11.1

Additionnez $2 x - 8$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.11.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 + (- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.3.1.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.2

Multipliez $2$ par $41$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.4

Développez $(- x + 4) (2 x - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x - 8) + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.3.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.3.1.5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.5.1.4

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.5.1.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.5.1.6

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.5.2

Additionnez $8 x$ et $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 16 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.3.1.7.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.7.2

Multipliez $16$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.1.7.3

Multipliez $2$ par $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 16 x + 82 + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.3

Additionnez $- 16 x$ et $32 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 82 - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.3.4

Soustrayez $64$ de $82$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} + 16 x + 18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.4.2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.4.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ et dont la somme est $b = 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.4.2.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.4.2.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 1$ plus $9$

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.4.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.4.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.4.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 1) (x - 9))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.8

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x + 1) (x - 9) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Étape 1.2.3.2

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.3.3

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 1.2.3.3.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 1.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x + 1) (x - 9) = 0$ vraie.

$x = - 1, 9$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’argument dans $\ln (x^{2} - 8 x + 41)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 8 x + 41 > 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Étape 2.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 8$ et $c = 41$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.3

Soustrayez $164$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.4

Réécrivez $- 100$ comme $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (100)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.7

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.1.9

Déplacez $10$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Étape 2.2.4.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Étape 2.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.3

Soustrayez $164$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.4

Réécrivez $- 100$ comme $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (100)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.7

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.9

Déplacez $10$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Étape 2.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 4 + 5 i$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.3

Soustrayez $164$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.4

Réécrivez $- 100$ comme $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (100)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.7

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.9

Déplacez $10$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Étape 2.2.6.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Étape 2.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 4 - 5 i$

Étape 2.2.7

Identifiez le coefficient directeur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.7.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$x^{2}$

Étape 2.2.7.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$1$

Étape 2.2.8

Comme il n’y a pas d’abscisse à l’origine réelle et comme le coefficient directeur est positif, le parabole ouvre vers le haut et $x^{2} - 8 x + 41$ est toujours supérieur à $0$ .

Tous les nombres réels

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 9) \cup (9, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Étape 4.2.1.3

Soustrayez $9$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 + 32 + 41)}^{2}}$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $16$ et $32$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(48 + 41)}^{2}}$

Étape 4.2.2.4

Additionnez $48$ et $41$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{89^{2}}$

Étape 4.2.2.5

Élevez $89$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{7921}$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 6$ par $- 13$ .

$f'' (- 4) = - \frac{78}{7921}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ car $f'' (- 4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 1, 9)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{({(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (1 (0 - 9))}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 9)}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Soustrayez $9$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 0 + 41)}^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 41)}^{2}}$

Étape 5.2.2.4

Additionnez $0$ et $41$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{41^{2}}$

Étape 5.2.2.5

Élevez $41$ à la puissance $2$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{1681}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f'' (0) = - \frac{- 18}{1681}$

Étape 5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = \frac{18}{1681}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $\frac{18}{1681}$ .

$\frac{18}{1681}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 1, 9)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 1, 9)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(9, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $12$ dans l’expression.

$f'' (12) = - \frac{2 ((12) + 1) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Additionnez $12$ et $1$ .

$f'' (12) = - \frac{2 \cdot (13 (12 - 9))}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $2$ par $13$ .

$f'' (12) = - \frac{26 (12 - 9)}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $9$ de $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 8$ par $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 96 + 41)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Soustrayez $96$ de $144$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(48 + 41)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Additionnez $48$ et $41$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{89^{2}}$

Étape 6.2.2.5

Élevez $89$ à la puissance $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{7921}$

Étape 6.2.3

Multipliez $26$ par $3$ .

$f'' (12) = - \frac{78}{7921}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(9, \infty)$ car $f'' (12)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(9, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 1, 9)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(9, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8