Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x - 8) (x^{2} - 16 x - 128)$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 8$ et $g (x) = x^{2} - 16 x - 128$ .

$f' (x) = (x - 8) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16 x - 128) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16 x - 128$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$f' (x) = (x - 8) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 128)) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 8) (2 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 128)) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 128)) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 128)) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

Étape 1.1.1.2.5

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16 + \frac{d}{d x} (- 128)) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

Étape 1.1.1.2.6

Comme $- 128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 128$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16 + 0) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

Étape 1.1.1.2.7

Additionnez $2 x - 16$ et $0$ .

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16) + (x^{2} - 16 x - 128) \frac{d}{d x} (x - 8)$

Étape 1.1.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16) + (x^{2} - 16 x - 128) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

Étape 1.1.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16) + (x^{2} - 16 x - 128) (1 + \frac{d}{d x} (- 8))$

Étape 1.1.1.2.10

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16) + (x^{2} - 16 x - 128) (1 + 0)$

Étape 1.1.1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16) + (x^{2} - 16 x - 128) \cdot 1$

Étape 1.1.1.2.11.2

Multipliez $x^{2} - 16 x - 128$ par $1$ .

$f' (x) = (x - 8) (2 x - 16) + x^{2} - 16 x - 128$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (x - 8) (2 x) + (x - 8) \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

Étape 1.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x (2 x) - 8 (2 x) + (x - 8) \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

Étape 1.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x (2 x) - 8 (2 x) + x \cdot - 16 - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

Étape 1.1.1.3.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.3.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 8 (2 x) + x \cdot - 16 - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

Étape 1.1.1.3.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 8 (2 x) + x \cdot - 16 - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

Étape 1.1.1.3.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 8 (2 x) + x \cdot - 16 - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

Étape 1.1.1.3.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 8 (2 x) + x \cdot - 16 - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

Étape 1.1.1.3.4.5

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 16 x + x \cdot - 16 - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

Étape 1.1.1.3.4.6

Déplacez $- 16$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 16 x - 16 \cdot x - 8 \cdot - 16 + x^{2} - 16 x - 128$

Étape 1.1.1.3.4.7

Multipliez $- 8$ par $- 16$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 16 x - 16 x + 128 + x^{2} - 16 x - 128$

Étape 1.1.1.3.4.8

Soustrayez $16 x$ de $- 16 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 32 x + 128 + x^{2} - 16 x - 128$

Étape 1.1.1.3.4.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + 128 - 16 x - 128$

Étape 1.1.1.3.4.10

Soustrayez $16 x$ de $- 32 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 48 x + 128 - 128$

Étape 1.1.1.3.4.11

Soustrayez $128$ de $128$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 48 x + 0$

Étape 1.1.1.3.4.12

Additionnez $3 x^{2} - 48 x$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 48 x$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 48 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 48 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 48 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $- 48$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 48$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x - 48$ .

$6 x - 48$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x - 48 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$6 x - 48 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $48$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 48$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $6 x = 48$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 48$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{48}{6}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{48}{6}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{48}{6}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $48$ par $6$ .

$x = 8$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 8) \cup (8, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 8)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 6 (0) - 48$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48$

Étape 4.2.2

Soustrayez $48$ de $0$ .

$f'' (0) = - 48$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 48$ .

$- 48$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 8)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 8)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(8, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f'' (10) = 6 (10) - 48$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $6$ par $10$ .

$f'' (10) = 60 - 48$

Étape 5.2.2

Soustrayez $48$ de $60$ .

$f'' (10) = 12$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(8, \infty)$ car $f'' (10)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(8, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 8)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(8, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7