Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

Étape 1

Transformez la limite de deux côtés en une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x^{2} + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Étape 2.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (x^{2} + 2 x)$ diminue sans borne.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Étape 2.1.3

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (x)$ diminue sans borne.

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Étape 2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Étape 2.2

Comme $\frac{- \infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x^{2} + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.8.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 2 x$ .

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Étape 2.3.8.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.8.2.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 2}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.8.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.8.3

Multipliez $2 x + 2$ par $\frac{1}{x (x + 2)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.8.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2$ .

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Étape 2.3.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.8.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2 (1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.8.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 2.3.9

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{1}{x}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)} x$

Étape 2.5

Associez $\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}$ et $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x + 2}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 1}{x + 2}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Étape 3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 2}$

Étape 3.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{0 + 2}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$2 \frac{1}{0 + 2}$

Étape 5.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{2})$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$1$