Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} x^{3} \ln (x)$

Étape 1

Transformez la limite de deux côtés en une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} x^{3} \ln (x)$

Étape 2

Réécrivez $x^{3} \ln (x)$ comme $\frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

Étape 3.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (x)$ diminue sans borne.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3.1.3.2

Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de $0$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de l’infini.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 3.1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 3.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 x^{- 4}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

Étape 3.3.4.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

Étape 3.3.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{4}}{3})$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{x^{4}}{3}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{4}}{x \cdot 3}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

Étape 3.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x (3)}$

Étape 3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

Étape 3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{3}}{3}$

Étape 4

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{3}}{3}$

Étape 4.2

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- \frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x^{3}$

Étape 4.3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- \frac{1}{3} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0$

Étape 6.2

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3})$

Étape 6.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$0$