Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x)$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (x^{2} + 1) x$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{2} + 4 \cdot 1) x$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} x + 4 \cdot 1 x$

Étape 1.3.3

Associez des termes.

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Étape 1.3.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot 1 x$

Étape 1.3.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot 1 x$

Étape 1.3.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot 1 x$

Étape 1.3.3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} + 4 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4$