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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 1.2
Différenciez.
Étape 1.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.4
Simplifiez l’expression.
Étape 1.2.4.1
Additionnez et .
Étape 1.2.4.2
Déplacez à gauche de .
Étape 1.2.5
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.6
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.7
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.8
Simplifiez l’expression.
Étape 1.2.8.1
Additionnez et .
Étape 1.2.8.2
Multipliez par .
Étape 1.3
Simplifiez
Étape 1.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.3.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.3.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.3.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.3.5
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.3.5.1
Associez les termes opposés dans .
Étape 1.3.5.1.1
Soustrayez de .
Étape 1.3.5.1.2
Additionnez et .
Étape 1.3.5.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.3.5.2.1
Multipliez par .
Étape 1.3.5.2.2
Multipliez par .
Étape 1.3.5.3
Soustrayez de .
Étape 1.3.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.3.7
Simplifiez le dénominateur.
Étape 1.3.7.1
Réécrivez comme .
Étape 1.3.7.2
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, où et .
Étape 1.3.7.3
Appliquez la règle de produit à .
Étape 2
Étape 2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 2.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance.
Étape 2.3.1
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.2
Multipliez par .
Étape 2.4
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 2.5
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.5.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.5.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.5.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.6
Différenciez.
Étape 2.6.1
Déplacez à gauche de .
Étape 2.6.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.6.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.6.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.6.5
Simplifiez l’expression.
Étape 2.6.5.1
Additionnez et .
Étape 2.6.5.2
Multipliez par .
Étape 2.7
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.7.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.7.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.7.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.8
Différenciez.
Étape 2.8.1
Déplacez à gauche de .
Étape 2.8.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.8.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.8.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.8.5
Associez les fractions.
Étape 2.8.5.1
Additionnez et .
Étape 2.8.5.2
Multipliez par .
Étape 2.8.5.3
Associez et .
Étape 2.8.5.4
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.9
Simplifiez
Étape 2.9.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 2.9.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.9.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.9.4
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.9.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.9.4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.9.4.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.9.4.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.9.4.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.9.4.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.9.4.2
Associez les exposants.
Étape 2.9.4.2.1
Multipliez par .
Étape 2.9.4.2.2
Multipliez par .
Étape 2.9.4.3
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.9.4.3.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 2.9.4.3.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.9.4.3.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.9.4.3.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.9.4.3.2
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 2.9.4.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.9.4.3.2.1.1
Multipliez par .
Étape 2.9.4.3.2.1.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.9.4.3.2.1.3
Réécrivez comme .
Étape 2.9.4.3.2.1.4
Multipliez par .
Étape 2.9.4.3.2.1.5
Multipliez par .
Étape 2.9.4.3.2.2
Additionnez et .
Étape 2.9.4.3.2.3
Additionnez et .
Étape 2.9.4.3.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.9.4.3.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.9.4.3.4.1
Déplacez .
Étape 2.9.4.3.4.2
Multipliez par .
Étape 2.9.4.3.5
Multipliez par .
Étape 2.9.4.3.6
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.9.4.3.7
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.9.4.3.7.1
Déplacez .
Étape 2.9.4.3.7.2
Multipliez par .
Étape 2.9.4.3.8
Multipliez par .
Étape 2.9.4.4
Associez les termes opposés dans .
Étape 2.9.4.4.1
Additionnez et .
Étape 2.9.4.4.2
Additionnez et .
Étape 2.9.4.5
Soustrayez de .
Étape 2.9.4.6
Soustrayez de .
Étape 2.9.5
Associez des termes.
Étape 2.9.5.1
Multipliez les exposants dans .
Étape 2.9.5.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.9.5.1.2
Multipliez par .
Étape 2.9.5.2
Multipliez les exposants dans .
Étape 2.9.5.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.9.5.2.2
Multipliez par .
Étape 2.9.5.3
Annulez le facteur commun à et .
Étape 2.9.5.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.9.5.3.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 2.9.5.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.9.5.3.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.9.5.3.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.9.5.4
Annulez le facteur commun à et .
Étape 2.9.5.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.9.5.4.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 2.9.5.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.9.5.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.9.5.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.9.6
Factorisez à partir de .
Étape 2.9.7
Réécrivez comme .
Étape 2.9.8
Factorisez à partir de .
Étape 2.9.9
Réécrivez comme .
Étape 2.9.10
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.9.11
Multipliez par .
Étape 2.9.12
Multipliez par .