Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{x - 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 1 x) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 1 x) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 1.3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \cdot 1) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.4.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.4.6.1

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.4.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.6.2

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{2} (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.6.2.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $- 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.6.2.3

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 2.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) \cdot 1}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12

Simplifiez

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Étape 2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.12.2.1.1

Développez $(x - 1) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.12.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.12.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.12.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.12.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.1.2.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.1.2.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.12.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x$ .

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Étape 2.12.2.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 0 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.2.2

Additionnez $- 4 x + 2$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.2.3

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2.2.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$