Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{1 + t}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{1}{1 + t}$ comme ${(1 + t)}^{- 1}$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} ({(1 + t)}^{- 1})$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = 1 + t$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + t$ .

$f' (t) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d t} (1 + t)$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (t) = - u^{- 2} \frac{d}{d t} (1 + t)$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + t$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} (1 + t)$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} (t))$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} t$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (t) = - \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = - 1$ et $g (t) = \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} \cdot \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ comme ${({(1 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {({(1 + t)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(1 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {(1 + t)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {(1 + t)}^{- 2} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 2}$ et $g (t) = 1 + t$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + t$ .

$f'' (t) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (t) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + t$ .

$f'' (t) = - (- 2 {(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f'' (t) = 2 ({(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Étape 2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Étape 2.4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} (t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Étape 2.4.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (t) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Étape 2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Étape 2.4.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Étape 2.4.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.4.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.8.1

Multipliez $\frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ par $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + 0$

Étape 2.4.8.2

Additionnez $2 {(1 + t)}^{- 3}$ et $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (t) = 2 (\frac{1}{{(1 + t)}^{3}})$

Étape 2.5.2

Associez $2$ et $\frac{1}{{(1 + t)}^{3}}$ .

$f'' (t) = \frac{2}{{(1 + t)}^{3}}$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (t) = \frac{2}{{(t + 1)}^{3}}$