Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{1 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{1}{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.5

Multipliez.

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Étape 1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.5.2

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ par $1$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Étape 1.3.7

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

Étape 1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Associez des termes.

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Étape 1.5.1.1

Associez $2$ et $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Étape 1.5.1.2

Associez $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(- x^{2} + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3.3

Multipliez ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ par $1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = - x^{2} + 1$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2} + 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2} + 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Factorisez $- x^{2} + 1$ à partir de ${(- x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $- x^{2} + 1$ à partir de ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.2.2

Factorisez $- x^{2} + 1$ à partir de $- 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])$ .

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) + (- x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.2.3

Factorisez $- x^{2} + 1$ à partir de $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) + (- x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))$ .

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Factorisez $- x^{2} + 1$ à partir de ${(- x^{2} + 1)}^{4}$ .

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{(- x^{2} + 1) {(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{(- x^{2} + 1) {(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x + 0)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x \cdot x}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 (x^{1} x)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 (x^{1} x^{1})}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x^{1 + 1}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17

Additionnez $- x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$2 \frac{3 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.18

Associez $2$ et $\frac{3 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.19

Simplifiez

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Étape 2.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.19.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.19.2.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.19.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$