Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Étape 1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Étape 2.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Étape 2.4.2

Additionnez $e^{x} (2 x)$ et $2 x e^{x}$ .

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Étape 2.4.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $2 x e^{x}$ et $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x e^{x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

Étape 3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 4 (x e^{x}) + 4 e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Additionnez $e^{x} (2 x)$ et $4 x e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 4 x e^{x} + 4 e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 3.5.2.1.2

Additionnez $2 x e^{x}$ et $4 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 4 e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $4 e^{x}$ et $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x}$

Étape 3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 6 e^{x}$

Étape 3.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

$f''' (x) = x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Étape 4.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x e^{x}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Étape 4.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [6 e^{x}]$

Étape 4.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ .

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Étape 4.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 e^{x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x} + e^{x}) + 6 e^{x}$

Étape 4.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 6 (x e^{x}) + 6 e^{x} + 6 e^{x}$

Étape 4.5.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Additionnez $e^{x} (2 x)$ et $6 x e^{x}$ .

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Étape 4.5.2.1.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 6 x e^{x} + 6 e^{x} + 6 e^{x}$

Étape 4.5.2.1.2

Additionnez $2 x e^{x}$ et $6 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 6 e^{x} + 6 e^{x}$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $6 e^{x}$ et $6 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 12 e^{x}$

Étape 4.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} + 8 e^{x} x + 12 e^{x}$

Étape 4.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 8 e^{x} x + 12 e^{x}$ .

$f^{4} (x) = x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + 12 e^{x}$