Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{17}{x^{2} + 12}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Comme $17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{17}{x^{2} + 12}$ par rapport à $x$ est $17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$ .

$17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 12}$ comme ${(x^{2} + 12)}^{- 1}$ .

$17 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 12$ .

$17 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$17 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 12$ .

$17 (- {(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $17$ .

$- 17 ({(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [12])$

Étape 1.3.4

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 1.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x)$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 17$ .

$- 34 {(x^{2} + 12)}^{- 2} x$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 34 \frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Associez $- 34$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$\frac{- 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Étape 1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Étape 1.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Étape 1.4.2.4

Déplacez $34$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $- 34$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$ .

$- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Étape 2.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 12)}^{2}$ par $1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 12$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 12$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Factorisez $x^{2} + 12$ à partir de ${(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 12$ à partir de ${(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Étape 2.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 12$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Étape 2.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 12$ à partir de $(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Factorisez $x^{2} + 12$ à partir de ${(x^{2} + 12)}^{4}$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.9

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 34 \frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.16

Associez $- 34$ et $\frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$\frac{- 34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.18

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{34 (- 3 x^{2}) + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.18.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.18.2.1

Multipliez $- 3$ par $34$ .

$- \frac{- 102 x^{2} + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Étape 2.18.2.2

Multipliez $34$ par $12$ .

$f'' (x) = - \frac{- 102 x^{2} + 408}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$