Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 x + 4}{x^{2} + 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 4 x + 4$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (4 x + 4) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 + \frac{d}{d x} (4)) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) (4 + 0) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \cdot 4 - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{4 \cdot (x^{2} + 3) - (4 x + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - (4 x + 4) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} + 3) - 2 (4 x + 4) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3 - 2 (4 x + 4) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 4) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) x - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 2 (4 x) x - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 2 (4 (x \cdot x)) - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 2 (4 x^{2}) - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 8 x^{2} - 2 \cdot (4 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 12 - 8 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.4.2

Soustrayez $8 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 12 - 8 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 8 x + 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} - 8 x + 12$ .

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Étape 1.3.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) - 8 x + 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 12}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (3)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 2 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.3.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 1.3.6.2.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} - 2 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + (1 - 3) x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + 1 x - 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + x - 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.3.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f' (x) = \frac{4 ((- x^{2} + x) - 3 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f' (x) = \frac{4 (x (- x + 1) + 3 (- x + 1))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 1$ .

$f' (x) = \frac{4 ((- x + 1) (x + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{4 (- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f' (x) = \frac{4 (- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.8

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.10

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{4 (- 1 (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{(4 (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(4 (x - 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{4 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 3)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 3)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 3)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x + 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (3)) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) (1 + 0)) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + (x + 3) \cdot 1) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.8.2

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (x - 1 + x + 3) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x - 1 + 3) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.5.8.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - (x - 1) (x + 3) (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.7.2

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

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Étape 2.7.2.1

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 2)$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) - 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.7.2.2

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de $- 2 (x - 1) (x + 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) + (x^{2} + 3) (- 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.7.2.3

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de $(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) + (x^{2} + 3) (- 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 2.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.1

Factorisez $x^{2} + 3$ à partir de ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.8.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.8.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.11

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.12

Associez les fractions.

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Étape 2.12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 2 (x - 1) (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.12.3

Associez $- 4$ et $\frac{(x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.12.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(4) ((x^{2} + 3) (2 x + 2) - 4 (x - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{4 ((x^{2} + 3) (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{4 ((x^{2} + 3) (2 x + 2)) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.1.1

Développez $(x^{2} + 3) (2 x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.13.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} (2 x + 2) + 3 (2 x + 2)) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x + 2)) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.13.3.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 2) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.2.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 6) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{4 (2 x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.4

Simplifiez

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Étape 2.13.3.1.4.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 4 (2 x^{2}) + 4 (6 x) + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.4.3

Multipliez $6$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 4 \cdot 6 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.4.4

Multipliez $4$ par $6$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x - 4 \cdot - 1) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x + 4) (x + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.6

Développez $(- 4 x + 4) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.13.3.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x (x + 3) + 4 (x + 3)) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3 + 4 (x + 3)) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.13.3.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.3.1.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.1.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.7.1.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 12 x + 4 x + 4 \cdot 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.7.1.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 12 x + 4 x + 12) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.7.2

Additionnez $- 12 x$ et $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 ((- 4 x^{2} - 8 x + 12) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{2} x - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.9

Simplifiez

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Étape 2.13.3.1.9.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.1.9.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.9.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.13.3.1.9.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{1 + 2} - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.9.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3} - 8 x \cdot x + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.9.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.1.9.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3} - 8 (x \cdot x) + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.9.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 + 4 (- 4 x^{3}) + 4 (- 8 x^{2}) + 4 (12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.11

Simplifiez

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Étape 2.13.3.1.11.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 16 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) + 4 (12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.11.2

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 16 x^{3} - 32 x^{2} + 4 (12 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.1.11.3

Multipliez $12$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 16 x^{3} - 32 x^{2} + 48 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.2

Soustrayez $16 x^{3}$ de $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{3} + 8 x^{2} + 24 x + 24 - 32 x^{2} + 48 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.3

Soustrayez $32 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{3} - 24 x^{2} + 24 x + 24 + 48 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.3.4

Additionnez $24 x$ et $48 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{3} - 24 x^{2} + 72 x + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.4

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x^{3} - 24 x^{2} + 72 x + 24$ .

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Étape 2.13.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) - 24 x^{2} + 72 x + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.4.2

Factorisez $8$ à partir de $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2}) + 72 x + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.4.3

Factorisez $8$ à partir de $72 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2}) + 8 (9 x) + 24}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.4.4

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2}) + 8 (9 x) + 8 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.4.5

Factorisez $8$ à partir de $8 (- x^{3}) + 8 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 8 (9 x) + 8 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.4.6

Factorisez $8$ à partir de $8 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 8 (9 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) + 8 (3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.4.7

Factorisez $8$ à partir de $8 (- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) + 8 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 9 x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.8

Factorisez $- 1$ à partir de $9 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 9 x) + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 9 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x) + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.10

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.12

Réécrivez $- (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)$ comme $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Étape 2.13.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Étape 2.13.15

Multipliez $\frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$