Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{9}{\sqrt[3]{x + 1}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.1.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ comme ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 1.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Étape 1.1.3.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Étape 1.1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.6.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.8

Associez ${(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$9 (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.9.1

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.9.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 (\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.10

Associez $\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ et $- 9$ .

$\frac{- 9}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.11

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.12.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 ({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.16

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Étape 1.17

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.17.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Étape 1.17.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ comme ${({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 2.1.2.2.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Étape 2.1.2.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 4}{3}}]$

Étape 2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{4}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $- 4$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.8

Associez ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ et $\frac{4}{3}$ .

$- 3 (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Déplacez $4$ à gauche de ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ .

$- 3 (- \frac{4 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.9.2

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.9.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$3 (\frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 2.10

Associez $\frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$ et $3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.11

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.12

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.16

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (1 + 0)$

Étape 2.17

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.17.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 1$

Étape 2.17.2

Multipliez $\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$