Calcul infinitésimal Exemples

$4 {(x + 2)}^{\frac{5}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 {(x + 2)}^{\frac{5}{3}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{5}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{5}{3}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{3}$ .

$4 (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.6.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Associez $\frac{5}{3}$ et ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ et $4$ .

$\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.7.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + 0)$

Étape 1.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot 1$

Étape 1.11.2

Multipliez $\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{20}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$\frac{20}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 2.7.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2 {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 2.7.3

Placez ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Étape 2.7.4

Multipliez $\frac{2}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{20}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 20}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.7.5

Multipliez.

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Étape 2.7.5.1

Multipliez $2$ par $20$ .

$\frac{40}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.7.5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 2.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Étape 2.11.2

Multipliez $\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$