Calcul infinitésimal Exemples

$6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6 y^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $y$ est $6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $y^{\frac{3}{2}}$ .

$6 \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.8

Associez $6$ et $\frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 (5 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.9

Multipliez $5$ par $6$ .

$\frac{30 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.10

Factorisez $2$ à partir de $30 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 y^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.2.11.4

Divisez $15 y^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 5 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 5 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 5 x y$ par rapport à $y$ est $- 5 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Étape 1.4

Comme $- 7 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$ et $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (y) = - 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.1.2

Comme $- 5 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $15 y^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $y$ est $15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 + 15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.2.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $y^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + 15 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.2.8

Associez $15$ et $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{15 (3 y^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 2.2.9

Multipliez $3$ par $15$ .

$0 + \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (y) = \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$